.RU

Отчет Отдела вычислительно математики за 2007 год


Научный отчет Отдела вычислительно математики за 2007 год.


Были исследованы следующие проблемы:


  1. Модельная задача – приближенное вычисление интегралов от функций многих переменных и их применение.


1.1. Создан пакет программ приближенных вычислений интегралов по ограниченным многомерным областям произвольных форм с границей Г. Основное ограничение на формы областей интегрирования : Задано такое разбиение единицы , что части границы Г, попавшие на носители функций , задаются аналитическими уравнениями, разрешенными относительно одной из переменных , причем все функции и предполагаются достаточно гладкими. Мы предполагаем, что носитель функция вырезает часть внутренности области , не пересекаясь с Г. Этому ограничению удовлетворяет любая выпуклая область с гладкой границей. Поэтому в описании основной программы пакета – приближенное вычисление интеграла до размерности 10, требуется выпуклость области интегрирования.

Однако, условие выпуклости – достаточное, и в размерностях 2 и 3 для не очень сложных форм областей , благодаря наглядности, можно непосредственно представить требуемое разбиение единицы. Это учтено в отдельных программах пакета для .


1.2. Известны три альтернативных подхода к приближенному интегрированию: формулы алгебраической точности, формулы с оценкой нормы функционала погрешности, формулы теоретико-вероятностного подхода. Была поставлена задача сравнения действия этих подходов на одних и тех же тестовых областях и подинтегральных функций для определения зон применимости каждого подхода. Вычислительными экспериментами решалась задача практического сравнения этих формул. Тестовые функции были выбраны из условий статистической обоснованности их презентативности. Область интегрирования была взята простейшей – трехмерный куб, что бы возможно было применить формулы алгебраической точности для интегрирования периодических функций.

Наши формулы с ограниченным пограничным слоем для областей произвольных форм с гладкими границами имеют такие же качественные характеристики (скорость сходимости), как и для областей с кусочно-гладкими границами.

Для простейших форм областей – параллелепипеда, многогранника с рациональными координатами вершин ОПС – формулы совпадают с Соболевскими формулами с регулярным пограничным слоем (РПС-формулы). А для такой простейшей области как параллелепипед, алгоритмы были программно реализованы еще в работах Соболева С.Л., Войтишек Л.В. Для сравнительного тестирования интегрирования по кубу были применимы эти программы.

Для областей простейших форм и небольших размерностей () оптимальность возможна для формул алгебраической точности. Для областей произвольных форм возможны сравнения только статистического и функционально-аналитического подходов. Статистический подход остается единственным для больших размерностей (). Для средних размерностей () и сложных форм областей интегрирования, возможно, оптимальным будет функционально-аналитический подход – решетчатая кубатурная ОПС-формула.


1.3. Исследовалась возможность применения решетчатых кубатурных формул к численному решению интегральных уравнений с произвольной формой областей интегрирования. Были выбраны интегральные уравнения Фредгольма II рода, решались методом последовательных приближений с областями интегрирования – двумерными, ограниченными, с гладкими границами. Было наложено условие выпуклости области интегрирования (в последующих программах может быть снято).



Для вычислительных экспериментов были взяты:

, ,

.

Функцию взяли такой, какой она получится, если задать . Это дает возможность находить истинную погрешность численного решения интегрального уравнения. Было взято .

Программа вычисления использовала решетчатые кубатурные ОПС-формулы с квадратной решеткой с , с заданным параметром гладкости и требуемой точностью . Для расчетов применена МВС-15000М с доступными нам 500 процессорами. Требуемая точность достигалась за 5-6 итераций с временем счета мин на 200 процессорах.


  1. Модельная задача численного решения системы уравнений Навье-Стокса с периодическими условиями по пространственным переменным.


Для ограниченных областей с гладкой границей найдены соотношения между собственными функциями и собственными значениями операторов ротора и Стокса с условием Дирихле на границе.

В случае шара собственные значения и собственные функции этих операторов выписаны явно через нули функций Бесселя полуцелого порядка, сами функции Бесселя и сферические функции.

Изучалась задача Коши для системы Навье - Стокса в рамках равномерного вращения в кубе с условием периодичности. Проведено сведение задачи к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в Гильбертовом пространстве. Показано, что каждой собственной функции оператора вихря с ненулевым собственным значением соответствует явное решение нелинейной однородной системы Навье-Стокса (с вращением).


  1. Исчисление бифуркаций нелинейных проблем.


Обоснованы вариационные принципы нового типа, соответствующие бифуркациям решений семейств уравнений в вариационной форме. Разработан метод продолженного функционала, позволяющего конструктивно находить бифуркации нелинейных систем. Данный метод применен для исследования эллиптических уравнений с неопределенными знаками нелинейности, для эллиптических уравнений с нелипщицивыми нелинейностями и уравнений с выпукло-вогнутыми правыми частями. Для таких уравнений доказано существование положительных решений и существование соответствующих бифуркаций попарного рождения и уничтожения. При этом бифуркационные точки выражены посредством явно задаваемых минимаксных вариационных принципов.

Рассмотрены параболические уравнения с неопределенными знаками нелинейностей. Для таких уравнений найдено пороговое значение спектрального параметра, при котором отсутствуют глобальные решения и появляются взрывающиеся решения. При этом разработан новый метод, позволяющий конструктивно выражать пороговое значение как решение двух дуальных задач. Разработан новый метод доказательства существования седловых точек соответствующих задач.

Рассмотрена нелинейная задача с резонансом, для которой доказано существование пары отрицательно-положительных решений. При этом обобщен метод расслоения функционала в рамках метода неподвижной точки Лере-Шаудера.


Список публикаций.


  1. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем. Препринты ИМВЦ УНЦ РАН, № 2007-1,2,3,4,5, 105с.

  2. Рамазанов М.Д. Теоремы вложения и многомерные сплайны. Доклады РАН, 2007, т. 413, №2, с. 174-177.

  3. Сакс Р.С. Спектральные задачи для операторов ротора и Стокса. Доклады РАН, 2007, т. 416, №4, с. 1-5.

  4. Программа CubaInt зарегистрирована в реестре программ для ЭВМ 10.10.2007 № 2007614331.

  5. Ильясов Я.Ш. Исчисление бифуркаций методом продолженного функционала. Функц. Анал. и его Прилож, 41, №1, (2007), стр. 23–38.

  6. Ильясов Я.Ш. On calculation of the bifurcations by the fibering approach.

Harmonic, Wavelet and p-adic Analysis, World Scientific, 2006, 141-156.

  1. Ильясов Я.Ш. On multiple solutions for elliptic boundary value problem with two critical exponents. Harmonic, Wavelet and p-adic Analysis, World Scientific, 2006, Jointly with Y. Egorov.

  2. Ильясов Я.Ш. On conformal invariants for elliptic systems with multiple critical exponents. Annals of Global Analysis and Geometry, V 32 (1) (2007), 33-66. Jointly with Y. Egorov.

  3. A duality principle corresponding to the parabolicequations. Physica D., (accepted), 1-17.

  4. Банникова Е.Л. Становление математики в Уфе в годы Великой Отечественной войны. //Материалы Международной научной конференции (г. Пермь, 7-9 сентября 2007 г. ); Перм.гос.пед.ун-т. – Пермь,2007., с. 127.

  5. Линд Ю.Б., Губайдуллин И.М. Применение параллельных вычислительных технологий при решении задач математического моделировании химических процессов // Сб. матер. Междунар. научно-технической конференции «Многопроцессорные вычислительные и управляющие системы». Геленджик, 2007, с. 264-271.

  6. . Линд Ю.Б., Губайдуллин И.М., Парфенова Л.В., Рамазанов М.Д, Спивак С.И. О применении параллельных вычислительных технологий при нахождении кинетических параметров общего механизма Zr катализа в реакциях карбо-, гидро- и циклометаллирования олефинов в присутствии катализатора Cp2ZrCl2 // Сб. трудов Международной научной конференции "Параллельные вычислительные технологии 2007". Челябинск, 2007. С 128-133.

  7. Линд Ю.Б., Губайдуллин И.М. Применение параллельных вычислительных технологий при решении обратной задачи для реакции гидроалюминирования олефинов в присутствии циркониевого катализатора // Сб. матер. Всероссийской научной конференции «Научный сервис в сети Интернет: многоядерный компьютерный мир. 15 лет РФФИ». Новороссийск, 2007, 4 с. (сдано в печать).

osnovnoe-meropriyatie-3-razvitie-ovcevodstva-i-kozovodstva-gosudarstvennaya-programma-razvitiya-selskogo-hozyajstva.html
osnovnoe-naznachenie-operativnogo-to-ustranenie-voznikshih-v-polete-i-na-zemle-otkazov-v-bortovih-sistemah-i-podgotovka-samoleta-k-ocherednomu-poletu-sushest-stranica-2.html
osnovnoe-obshee-i-srednee-polnoe-obrazovanie-uchebno-metodicheskij-kompleks-mou-sosh-1.html
osnovnoe-obshee-obrazovanie-6-dnej-dlya-5-9-klassov-enie-v-sootvetstvii-s-licenziej-ot-10-06-2005-gosudarstvennoj.html
osnovnoe-obshee-obrazovanie-ederalnij-perechen-uchebnik.html
osnovnoe-obshee-obrazovanie-ob-utverzhdenii-federalnih-perechnej-uchebnikov-rekomendovannih-dopushennih-k-ispolzovaniyu.html
  • pisat.bystrickaya.ru/trehfaznoe-dihanie-v-rusle-kulturno-istoricheskih-tradicij-literatura-208.html
  • thescience.bystrickaya.ru/iasinkevich-osmokeeva-sbornik-nauchnih-statej.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/programma-vstupitelnogo-ekzamena-po-fizike-dlya-postupayushih-na-byudzhetnuyu-formu-obucheniya-mehanika.html
  • report.bystrickaya.ru/kak-sebya-vesti-na-intervyu-22-tipichnie-voprosi-i-otveti-24.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/avtorskoe-pravo-chast-3.html
  • letter.bystrickaya.ru/nacionalnaya-model-opisaniya-gosudarstvennih-programm-kanada-l-n-bogdanov-ispolniteli-temi.html
  • literature.bystrickaya.ru/boris-grizlov-monitoring-smi-8-10-iyulya-2006-g.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/soderzhanie-referat-stranica-6.html
  • shkola.bystrickaya.ru/menedzhment-novostej-i-konstruirovanie-novostnoj-informacii.html
  • desk.bystrickaya.ru/plan-raboti-zapadnogo-okruzhnogo-upravleniya-obrazovaniya-departamenta-obrazovaniya-goroda-moskvi-omc-zouo-do-goroda-moskvi-strukturnih-podrazdelenij-zouo-do-goroda-moskvi-na-2010-2011-uchebnij-god-stranica-33.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-pyataya-rejmond-moudi-dajyana-arkendzhel-zhizn-posle-utrati.html
  • doklad.bystrickaya.ru/vanna-dokumentaciya.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/proektirovanie-ventilyacionnoj-sistemi-derevoobrabativayushego-ceha.html
  • school.bystrickaya.ru/glossarij-ekspropriaciya-konspekt-lekcij-prednaznachen-dlya-studentov-zaochnoj-ochno-zaochnoj-zaochnoj-vihodnogo.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/ekspluatacionnaya-dokumentaciya.html
  • occupation.bystrickaya.ru/obrazovatelnaya-programma-menedzhment-v-fizicheskoj-kulture-i-sporte-uchebno-metodicheskoe-posobie-stranica-6.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/prikaz-ot-19-avgusta-1997-g-n-249-o-nomenklature-specialnostej-srednego-medicinskogo-i-farmacevticheskogo-personala-stranica-10.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/problemi-prichinnogo-kompleksa-prestupnosti-v-soremennoj-rossii-chast-4.html
  • books.bystrickaya.ru/borodatie-irisi-vashemu-vnimaniyu-predlagaetsya-ocherednoj-31-j-katalog-cvetochnih-rastenij-iz-nashej-kollekcii-po.html
  • assessments.bystrickaya.ru/dlya-sbezhavshih-iz-doma-kniga-dlya-dushevnogo-chteniya-i-razgovora.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-3-bitie-i-he-bitie-istoriya-filosofii-zapad-rossiya-vostok.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/rechevaya-i-chitatelskaya-deyatelnost-municipalnoe-obsheobrazovatelnoe-uchrezhdenie.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-chetirnadcataya-grecheskij-vopros-aleksandr-dmitrievich-prozorov-aleksej-zhivoj.html
  • tests.bystrickaya.ru/ment-nenormalnij-irina-majorova-metromaniya.html
  • shpora.bystrickaya.ru/z-s-tinkova-teoriya-i-metodika-kulturno-dosugovoj-deyatelnosti.html
  • thesis.bystrickaya.ru/programma-disciplini-ekonomika-i-ekonomicheskij-analiz-ssha-i-kanadi-sostavlena-v-sootvetstvii-s-primernoj-programmoj-utverzhdennoj-ministerstvom-obrazovaniya-rossijskoj-federacii-sostaviteli.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/sozdanie-i-redaktirovanie-vektornih-kart-dlya-navigacionno-informacionnoj-sistemi-gis-russa.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-po-discipline-v-kuhni-narodov-mira-po-napravleniyu-podgotovki-bakalavrov-260800-62-tehnologiya-produkcii-i-organizaciya.html
  • lesson.bystrickaya.ru/samoubijstvo-katona-gennadij-mihajlovich-levickij.html
  • notebook.bystrickaya.ru/grazhdanin-svyatoj-rusi.html
  • knigi.bystrickaya.ru/ris-96-principialnaya-shema-akusticheskogo-signalizatora-elektronika-v-nashem-dome-odon.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/programma-disciplini-metodi-issledovanij-v-logistike-dlya-specialnosti-080506-95-logistika-i-upravlenie-cepyami-postavok-podgotovki-magistrov-avtor-d-t-n-prof-g-l-brodeckij.html
  • college.bystrickaya.ru/142vedomij-val-2-1-raschet-magnitnoj-cepi-pri-holostom-hode.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/krup-ordiyata-na-imperiyata-istoriya-na-golemite-imushestva-rotshild-pette-zlatni-streli.html
  • literatura.bystrickaya.ru/sindrom-dlitelnogo-sdavleniya-razdavlivaniya-bezopasnost-zhiznedeyatelnosti.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.